per prima cosa quanti km ha?

effettua tutti questi controlli e intervieni :

controlla il colore delle candela
il livello del liquido e la valvola termostatica perché non attacca la ventola
effettua un cambio d olio e cambia il filtro dell olio
smonta la testata asse a camme e valvole, puliscila con la benzina e olio di gomito
puisci e smeriglia le valvole cambia le guarnizioni e controlla la pompa dell acqua
vedi se la guarnizione di testata è cotta e se l olio che sta su di essa non puzza di bruciato, se è cosi cambiala
monta il tutto mettendo in fase e riempiendo il lc a livello fai lo spurgo e aspetti 20 minuti in moto senza accellerare

Immagine: Link a pagina di Motoclub Tingavert
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Certo che consigliare a uno che si dichiara poco competente di smontare la testa di un quattro tempi e' segno d'ottimismo.
Quello che penso io e' andando in ordine
1) si spegne o "affoga"?
2) e come riparte?
Io credo sia piu' un problema di quantita' di benzina, e quindi iniettore sporco. Prova a mettere una benzina ad alto numero d'ottano e/o aggiungi un additivo per la pulizia degli iniettori.
3) normale che dopo trenta minuti di funzionamento da fermo si scaldi l'acqua? E perbacco cosa dovrebbe fare? Pero' e' vero, dovrebbe partire la ventola e qui ha ragione Ciro, controllo del liquido di raffreddamento (sportellino sul lato destro dello scudo) ed eventualmente rimpiazzo del termostato. Comunque lasciare acceso il motore per tanto tempo senza muoversi non e' una bella idea, puoi solo avere dei surriscaldamenti anomali del motore.
4) Se non c'e' un fusibile in comune direi che clacson e cavalletto non hanno grandi punti in comune, qui ti serve un elettrauto.

questo scatenaccio che senti può essere la ruota libera che ingrana il motorino d'avviamento difettosa, sicuro che il motore abbia solo 12000km, non è che ne ha 100000km in più? sul fatto del riscaldamento a freddo e della mancata accensione della ventola può essere che l'impianto di raffreddamento abbia aria nell'impianto oppure che il liquido di raffreddamento sia da cambiare perchè deteriorato nelle sue caratteristiche, quando non è più buono tende a mondare in ebollizione la miscela acqua-glicole

La pompa dell'acqua non può essere?

12mila km in 11 anni mi sembrano troppo pochi...le cause possono essere secondo me:

1)E' stato fermo molto tempo a causa dei continui guasti!!!
2)E' probabile che il contachilometri non segni i km reali!

Anche usandolo poco...sono sempre 11 anni...una media di 90km al mese..che per un 500cc mi pare assurdo!!...Solitamente ci si compra un 500cc per affrontare autostrade..o comunque tragitti lunghi!!

Il mio 250 ha 12 anni e 40mila km...ed è stato usato poco!

La pompa dell'acqua non può essere?

12mila km in 11 anni mi sembrano troppo pochi...le cause possono essere secondo me:

1)E' stato fermo molto tempo a causa dei continui guasti!!!
2)E' probabile che il contachilometri non segni i km reali!

Anche usandolo poco...sono sempre 11 anni...una media di 90km al mese..che per un 500cc mi pare assurdo!!...Solitamente ci si compra un 500cc per affrontare autostrade..o comunque tragitti lunghi!!

Il mio 250 ha 12 anni e 40mila km...ed è stato usato poco!

esistono le istruzioni di montaggio sul sito della malossi io prendo li studio e esamino e con un po di competenza smonto la testata e rimetto in fase... trovo piu problematico accedere al motore smontando solo il necessario nessuno è nato imparato e chi vuole può
magari qualche strumento tipo smontavalvole o spessimetro non ti vale la pena comprarlo..
porti la testata in un centro rettifiche e se lo vedono loro risparmi parecchio di piu che portarlo dal meccanico... consiglio di smontare la testata da solo perchè credo non abbia intenzione di spendere un patrimonio andando da un meccanico bhe non gli do torto

Tempo fa ebbi la (s)ventura di comprare uno scooter datato ma con pochi km, era del 97 e aveva 15.000 km. Era stato molto tempo fermo in garage e questo non è un bene perchè ebbi problemi di vario tipo anche io. Acqua che saliva di temperatura, manicotti e raccordi in gomma che si disfacevano. Il discorso temperatura acqua, potrebbe essere aria nel circuito... comunque dopo tanto tempo la pompa deve essere revisionata. per gli spegnimenti, può capitare che la vecchia benzina verde lasciata dentro il serbatoio, abbia fatto danno. Questi cimeli, potrebbero servire più che altro per poter usufruire della rottamazione, se ci fosse. Se è più la spesa che l'impresa, capisci anche tu che ha poco senso cercare di tenere in vita un moribondo. Se trovi qualche meccanico di quelli con l'aureola, disposto a venirti incontro non con un Suv, ma tenendo conto del valore effettivo del mezzo, se ti fa risparmiare qualcosa e ti toglie le rogne più gravi, come lo spegnimento e il raffreddamento, non sarebbe male.

ma guarda se dai dei colpetti piccoli di accelleratore tutti i 4t si spengono è normale

se si era formato del "FANGO" o qualcosa di similare nella vaschetta ti consiglio di sostituire interamente il liquido e rimetterlo nuovo svuotando completamente l'impianto, fare un bel lavaggio con prodotti appositi e poi ricaricare l'impianto con il liquido previsto facendo la procedura di spurgo dell'aria eventualmente rimasta intrappolata nell'impianto nella fase di ricarica, ti consiglio di fare tutto ciò perchè altrimenti a breve la guarnizione ceramica che sta nella pompa e che separa il circuito dell'olio da quello di raffreddamento ti saluterà causando il caratteristico sgrondo dallo spurgo sotto il carter pompa indice del deterioramento della guarnizione ceramica

Unlod, hai il carburatore o l'iniezione elettronica? Stando fermo per molto, con della benzina verde, ti posso garantire che se non hanno messo dello stabilizzatore nel serbatoio, ma molti non sanno nemmeno cos'è, si sciolgono le parti in gomma come guarnizioni e tubi. La verde fa danno anche in motoseghe e decespugliatori, se lasciata invecchiare, figurati in un motore da scooter. Se ha il carburatore sarebbe opportuno fare un bel lavaggio. La candela cambiala senza indugio e dai un occhio ai cavi se non ci sia qualche problemino.
Il fatto del problema risolto sul raffreddamento, è un buon segno, con l'uso potrebbe tornare tutto a posto, segui il consiglio di Leleviola.
Purtroppo l'inattività in un mezzo fa danno, l'ho capito con l'esperienza. Certe volte ci sono delle occasioni allettanti, ma occorre andarci cauti.

Nel mio caso, trovai lo scooter di un modello che mi era sempre piaciuto (Aprilia Leonardo), dopo poco, uscirono le magagne. Anche a me non si sbloccava la valvola termostatica, quella a tre vie e la temperatura saliva. Feci sostituire il liquido, ma non fecero nessun lavaggio e il sedimento che tu hai definito fango, rovinò la pompa dell'acqua.
Nel tuo caso, non è una grossa spesa revisionare la pompa, ma nel mio caso per sostituirla si dovette aprire il blocco in due come una cozza, 300 cucuzze, e perchè mi fecero un buon prezzo.
Il bello è che poi trovavo sempre qualche goccia di liquido in giro nel motore.
I manicotti, tipo quello dell'aria-carburatore erano sbriciolati, controlla anche tu...
Le gomme anche se nuove erano talmente dure che alla prima curva ebbi una brutta impressione , andava per i fatti suoi, quindi dai un'occhio anche a quelle. Sono troppo importanti.