Potrebbe, ma se funzioni una volta si e una no si riporterebbe la questione a qualche contatto ballerino credo, nel senso che se fosse rotto o fosse partito qualche fusibile il motorino non girava e basta.

Comunque il costo del rele è basso, tipo 20 euro, quindi se è li il problema tanto meglio

Controllerei come prima cosa i morsetti della batteria, a volte succede che si allentino un po' e non facciano bene contatto.
Come seconda cosa controllerei il sensore cavalletto, può essere ossidato, o puo avere un filo spelato, o semplicemente sensore sporco.
Inoltre, quando dici che non da segni di accensione intendi che proprio non gira nemmeno il motorino di avviamento? Perchè se così fosse potrebbe essere semplicemente il pulsante di accensione che si è ossidato, se invece il motorino gira ma la moto non si accende allora potrebbe essere il teleruttore.