Salve, giacchè questo modello è fornito di un sistema di trasmissione automatica molto semplice a variatore, probabilmente è lì che si trova il problema, forse anche naturale vista l'età del veicolo che non dovrebbe essere inferiore a 15 anni e forse potrebbe averne di più, dato che la Et2 è stata prodotta nel periodo 1997\2004. Se poi mai in questi anni è stata messa mano al sistema di trasmissione e i chilometri sono tanti, una rottura da usura è più che plausibile. Normalmente i ricambi per la Vespa non sembrano avere costi inaccessibili.

anche secondo me è la cinghia comunque se non hai gli attrezzi con 20euro te la cavi dal meccanico, massimo 30euro se prendi una cinghia da 20euro....altre alternative possono essere millerighe mangiato (qui la spesa sale perchè va cambiato albero motore e parliamo di 150 200euro minimo) o il variatore rotto ( con 20euro ne prendi uno usato e con 40/50 uno aftermarket)...puoi comunque controllare tu svitando la coppa della trasmissione (scrivi su youtube smontaggio copricarter per una guida), è veramente facile da fare così se la cinghia non c'è puoi già farti una idea della spesa...
p.s. se la ruota gira a mano liberamente è molto improbabile che siano i rapporti....