Ma molto banalmente, hai controllato il minimo?
Prova a dare un giro e mezzo alla vite e vedi come si comporta.
Lamps!

Caspita, mi cogli un po' impreparato, non conosco per niente il tuo scooter...
Ad ogni modo parliamo di una vitina sul carburatore che influisce sull'apertura della ghigliottina, pertanto devi dare un'occhiata al carburatore prestando attenzione a non confonderla con un eventuale vite dell'aria o della benzina che è opportuno non toccare in quanto modifica la carburazione.
Il carburatore di norma è dietro poco sopra il blocco motore, ho notato che in certi modelli tipo lo speedfight di peugeot è ben nascosto dall'airbox tuttavia non puoi confonderlo.
Dopodiché devi cercare una vite che tra la battuta e la testa abbia una piccola molla e che agisca sulla ghigliottina, il modo migliore per identificarla sarebbe rimuovere l'airbox e guardare direttamente la ghigliottina...
Inizia dando un'occhiata al carburatore, magari ha solo quella e non puoi sbagliare, altrimenti se posti una foto messa bene a fuoco del carburatore ti so dire con certezza.
Lamps!

La vite del minimo è proprio quella invece
Posso confermare in quanto ho avuto modo di mettere mano parecchie volte ad uno speedfight che ha carburatore ed airbox identici da ciò che si vede in foto.
Il fatto che non regga ancora può dipendere da molti fattori...
In linea di massima, specie per un 2T, l'essere instabile a freddo al minimo è abbastanza normale; tuttavia si parla di circa 30-40 secondi di riscaldamento e poi almeno il minimo dovrebbe reggerlo (a seconda delle temperature chiaramente).
Quella levetta aggiuntiva sembra un po' troppo "artigianale"
Teoricamente quel carburatore ha l'aria automatica... probabilmente l'anno trasformato in aria manuale.
Io a questo punto proverei a tirarlo giù, è un lavoretto da cinque minuti, gli dai una bella ripulita e verifichi il funzionamento di quella levetta, magari banalmente il cavo è poco teso e parte della paratia dell'aria continua a coprire il foro di aspirazione ingrassando la carburazione e facendotelo spegnere.
Una volta pulito e controllato il tutto rimonti e regoli perfettamente la vite del minimo, può essere difficile ma devi trovare il punto che ti consenta di lasciare la moto al minimo dopo quei 30 secondi di cui parlavo sopra ed allo stesso tempo non faccia restare il motore a giri alti una volta caldo.
Inoltre assicurati di comportarti nel modo giusto con l'aria, sembra una banalità ma influisce parecchio...
La levetta va tirata solamente quando non riesci a mettere in moto senza e solo a motore freddo, la lasci inserita pochi secondi finché il motore non tende a soffocare o ad accelerare bruscamente, dopodiché la disinserisci subito e dai qualche sgasatina; provi a lasciare al minimo e dovrebbe reggere tranquillamente.
Lamps!

È normale che da freddo non tenga perfettamente il minimo perché tutte le parti del motore sono fredde e si devono ancora scaldare, comunque la vite del minimo è proprio sul carburatore credo che tu abbia svitato la vite che serve per tenere fissata l'air box(banalmente il filtro dell'aria) al blocco motore..

Azz, bel casino
Perdonami se preciso ma... Lamps sta per "lampeggio" il classico saluto quando si incontra un altro motociclista, non è il mio nick
Sai che ce l'ho ancora giù quel carburatore, dev'essere in uno scatolone... se lo trovo ed abbiamo in mano lo stesso pezzo riesco sicuramente a darti un aiuto migliore.
Ad ogni modo c'è da prestare attenzione, quella vitina lima molto leggermente la carburazione e può regolare sia il flusso dell'aria che quello della miscela (o della benzina se hai il miscelatore che spara direttamente l'olio nel collettore).
Molto teoricamente regola il flusso dei fluidi (se ricordo bene) nel primo ottavo di apertura del gas.
Bisogna vedere se la vitina è a valle o a monte per capire se è dell'aria o della benzina, è importante perché il loro funzionamento è opposto; se sviti quella dell'aria ne aumenti il flusso smagrendo la carburazione mentre se sviti quella della miscela ingrassi.
Dal momento che mi dici che è in prossimità della vaschetta mi viene da pensare che sia quella della miscela che vaporizza direttamente dopo la ghigliottina per ingrassare.
E questo spiega anche la perdita di benzina.
Quel carburatore ha il depressore perciò a motore spento il carburatore contiene giusto la benzina della vaschetta, ti conviene svitare completamente la vite sino a rimuoverla e verificare l'entità del danno, per il discorso di cui sopra presumibilmente ti uscirà un po' di benzina ma si dovrebbe fermare in pochi istanti.
Cerca di capire se si è crepato qualcosa o se si è solamente spanata la filettatura del foro o (speriamo) quella della vite.
Come tampone temporaneo se è un problema di filettatura potresti usare del teflon (anche se non so come si comporti coi solventi), del frenafiletti oppure della loctite 542 che è specifica.
Lamps!

Il rubinetto in questione è il depressore di cui ti parlavo...
La vaschetta usata la trovi tranquillamente a 7-8 euri, circa 12 per il depressore quindi se facessi da te risparmieresti parecchio...
Cambiare tutto il carburatore mi sembra esagerato se non ci sono danni o crepe evidenti e ad ogni modo il ricambio originale con aria automatica lo trovi ad una quarantina di euri.
Non ti scoraggiare, il "non fare una cosa se non sai farla" può essere giusto, tuttavia a mio avviso per quanto concerne la meccanica se non ti metti in gioco non imparerai mai; studiare sui libri è utile ma finché non prendi in mano la cassetta degli attrezzi...
Per esempio di norma il depressore quando si rompe rimane chiuso e non ti fa partire la moto, se il tuo rimane aperto probabilmente è solo sporco o incastrato, il meccanico a meno che sia veramente onesto lo cambia e basta o ancora peggio gli da una pulita e ti dice che l'ha cambiato facendotelo pagare.
Cambiare scooter per una sciocchezza del genere è esagerato
Magari te la cavi con 10 euri e un ora e mezza di lavoro con un po' di musica!
Io fossi in te lo riporterei a casa, tirerei giù tutto il carburatore (se il depressore non chiude basta piegare il tubo della benzina a U e metterci una molletta per i panni) e darei una bella occhiata al danno.
Se va bene cambi solo la vaschetta, se l'hai proprio distrutto (dubito seriamente) con 40 euri lo prendi nuovo e quello vecchio lo "cannibalizzi" , ti fai un po' di esperienza meccanica e ti tieni i pezzi di ricambio per eventuali guasti futuri.
Svuoti il serbatoio in una tanica (o nel vaso dei fiori della mamma ) tiri giù il depressore e lo pulisci bene, se va bene hai risolto, altrimenti 10 euri neanche e sostituisci il tutto.
Visto che il depressore non chiudeva probabilmente lo scooter si ingolfava, per quello aveva problemi a partire e stare acceso, doveva prima smaltire la benzina che finiva nel cilindro.
Alla fine l'esperienza ce la si fa sui 50ini, quando tra qualche anno girerai sulla tua mega panigale non potrai sbagliare perché altrimenti son dolori, ma su uno scooter 50 finché il motore sta attaccato al telaio di grossi danni non puoi farne
Lamps!

Mi spiace per l'inconveniente, spesso e volentieri i meccanici d'oggi non hanno più passione e fanno le cose alla carlona
Quello che lamenti sembra proprio un problema da carburazione errata, se devi tirare l'aria e ti fa dei vuoti direi che potresti essere molto magro il che è decisamente dannoso per il motore.
Digli di dargli una bella carburata e magari di provarlo sta volta
Nel frattempo penso ti convenga evitare di usarlo, se sei realmente così magro di carburazione c'è il rischio di un grippaggio...
Lamps!